L’origami (du japonais signifiant « plier » + « papier ») est utilisé dans le monde entier pour produire de belles créations qui se situent à l’intersection fascinante des mathématiques et de l’art. J’ai participé à une multitude de sessions et d’ateliers où je suis impressionné non seulement par les belles constructions rendues possibles, mais aussi par les merveilleuses mathématiques qui les sous-tendent.
Le récent British Congress of Mathematics Educators (BCME 9) n’était pas différent. Parmi les sessions auxquelles j’ai assisté, j’ai pu participer à une variété de belles constructions de tuiles avec le Dr Jennie Golding.
L’une des formes que nous avons produites était un hexagone régulier plié à partir d’un morceau de format A4. C’est un processus simple mais ouvre un monde de et si? et pourquoi?
Plier les formes est idéal pour la dextérité et la coordination œil-main, puis vous pouvez étudier les propriétés des formes créées et expérimenter les mathématiques mises en œuvre dans une activité créative. Reconnaître que des formes 3D (et les limites de celles qui sont possibles) peuvent être créées à partir d’un matériau 2D est une idée utile, en particulier lorsque vous commencez à envisager des réseaux. Les compétences de visualisation sont améliorées lorsque vous commencez à prédire ce qui est en cours de construction. Les formes sont rencontrées dans un large éventail d’orientations et de transformations; les sommets, les angles et les arêtes correspondants peuvent être identifiés.
Au fur et à mesure que les élèves rencontrent diverses propriétés d’angle, la congruence, la similitude, la trigonométrie et des constructions différentes mais également valables peuvent être étudiées et justifiées. Les constructions initiales peuvent être communiquées de différentes manières : instructions écrites ou orales, schémas, vidéo ou une combinaison. Amener les élèves à communiquer leurs propres constructions dans n’importe quel format leur donne également l’occasion de relever les défis de la conception d’instructions claires pour les autres.
Maintenant, il existe de nombreuses façons de construire un hexagone régulier, mais j’ai particulièrement aimé celui-ci car il ne reposait sur aucune utilisation de la trigonométrie ou du rapport des côtés de A4 pour expliquer pourquoi cela fonctionnait. En fait, je vais remonter plusieurs étapes en arrière et montrer comment construire un angle de 60º en utilisant n’importe quelle feuille de papier rectangulaire.
Voici comment procéder…
Demander à quelqu’un d’expliquer pourquoi il sait que cet angle doit être de 60º simplement en regardant la construction finale démarre une conversation mathématique importante. Vous pouvez voir que l’angle construit a été fait avec trois couches de papier qui se chevauchent exactement et donc chaque angle est de 1/3 de 180º. Mais pourquoi cela fonctionne-t-il ? Comment cela marche-t-il? Pensez-vous que ce sera difficile à prouver?
Eh bien en fait – non. Étonnamment, les seuls faits requis par l’explication sont que les angles intérieurs d’un triangle totalisent 180º et la congruence angle-côté. Si vous souhaitez faire une pause à ce stade et voir si vous pouvez construire la preuve vous-même, essayez !
Voici mon explication – en schémas, avec le moins de mots possible :
En fait, je suppose (je ne l’ai pas encore essayé – mais j’aimerais avoir des nouvelles de quelqu’un s’ils le font) qu’un nombre surprenant d’élèves de Key Stage 3 (et peut-être même plus jeunes) seraient en mesure de montrer pourquoi cela fonctionne. Certains d’entre eux pourraient alors être en train de plier un losange (répétez ce processus sur le côté gauche), un triangle équilatéral (pliez le losange en deux ; il y a une grande discussion ici pour savoir si tous les losanges se plient en deux pour donner des triangles équilatéraux, sinon, que se plient-ils en deux pour donner – et pourquoi celui-ci donne-t-il un triangle équilatéral ?) et un hexagone régulier (pliez les deux angles aigus du losange au centre du rectangle d’origine).
Une dernière chose à laquelle il faut penser avec cette construction est : quels sont les ratios de papier pour lesquels cela ne fonctionnerait pas ? Qu’en est-il des rapports pour lesquels un losange n’est pas construit en répétant la construction de droite ? Ou le rapport du papier pour lequel le deuxième pli rencontre la ligne centrale (l’image finale dans les instructions initiales) et donc le pli central de la feuille est la longueur d’une diagonale ?
Ces types d’activités de pliage de papier constituent un environnement idéal pour pratiquer et développer le raisonnement spatial ; la capacité de voir, d’inspecter et de réfléchir sur des objets spatiaux, des images, des relations et des transformations. C’est l’acte de générer des images et d’inspecter les images pour répondre aux questions qui fournit les « entrées » et les outils cognitifs critiques permettant aux élèves d’effectuer une analyse géométrique formelle (Battista, M, 2007).
Battista, MT, 2007. Le développement de la pensée géométrique et spatiale, dans : Lester, FK (Ed.), Deuxième manuel de recherche sur l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques : un projet du Conseil national des professeurs de mathématiques. L’ère de l’information, pp. 843–908.