Au fur et à mesure que je développe certains des waypoints de géométrie de niveau supérieur pour notre cadre, j’élargis ma compréhension des « différentes géométries » et j’essaie d’offrir un équilibre entre les approches et de montrer comment elles se mélangent.
Nous avons plusieurs façons de décrire le plan euclidien et les objets dans le plan. Voici le cas du triangle isocèle, qui montre comment nos définitions de départ peuvent être différentes mais les mêmes propriétés déduites (certes de manières différentes).
Maintenant, je ne vous recommanderais pas de commencer à examiner ce cas particulier avec les étudiants car il est ici comme exemple de base à considérer et à comparer. Mais ce qui pourrait être utile, c’est le récit qui explique ensuite les propriétés du triangle isocèle : il n’y a pas une explication unique, mais les justifications peuvent prendre différentes “optiques”, ce qui vaut la peine d’être réfléchi lorsque nous écoutons les réponses des élèves. ce n’est pas tout à fait la façon dont nous l’expliquerions !
Euclide a défini un triangle isocèle comme un triangle à deux côtés égaux :
Que peut-on en déduire en utilisant les axiomes de congruence ?
Si le triangle ABC a |AB| = |AC| alors les triangles ABC et ACB sont congrus par côté-angle-côté (SAS).
Dans les deux triangles ci-dessus, les deux côtés gauches sont égaux, les deux côtés droits sont égaux et l’angle en A est le même angle (puisqu’il s’agit du même triangle).
Il découle de SAS que si deux triangles sont congrus, alors tous les angles correspondants sont congrus. En d’autres termes, l’angle en B est égal à l’angle en C, donc les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.
Coupez maintenant l’angle en A et tracez le segment de droite AM.
Encore une fois par SAS les triangles ABM et ACM sont congruents ; |AB| = |AC|, le segment de droite AM bissectrice de l’angle en A donc ∠BAM et ∠CAM sont égaux, le côté partagé du triangle AM.
Donc |BM| = |MC|, M est le milieu de BC et AM est perpendiculaire à BC. AM est donc l’altitude et la médiane du triangle ABC.
Maintenant, une autre approche utilise des transformations.
Un triangle isocèle est un triangle avec au moins un axe de symétrie. Cela signifie que le triangle ABC est sa propre image sous réflexion en AM.
La logique et mes connaissances me disent que cela doit ressembler à ceci :
Cela s’écrit r(△ABC) = △ACB.
Donc B est réfléchi vers C, r(B) = C, C vers B, r(C) = B et A est sur la ligne miroir, r(A) = A
Quelles autres propriétés peut-on en déduire ?
- a) Puisque r(B) = C et r(A) = A :
- |AB|= |AC|, deux côtés sont de même longueur
- b) Puisque r(B) = C, AM est la droite miroir, M est sur BC et r(M) = M :
- M est le milieu de BC
- AM est la médiatrice de BC
- AM est la médiane et l’altitude du triangle ABC
- c) Puisque r(A) = A, r(B) = C et r(M) = M :
- r(∠CAM) = ∠CBM • ∠CAM = ∠CBM, les deux ‘angles de base’ sont égaux
Il vaut la peine de comparer ces deux arguments. Comment sont-ils similaires ou différents? Avez-vous une préférence? Pouvez-vous appliquer ce genre d’arguments pour expliquer les propriétés d’un parallélogramme ?
| QUELQUE CHOSE A ESSAYER
KS1 : Où vous asseyez-vous dans la classe ? De combien de façons pouvez-vous décrire votre position ? KS2 : De combien de façons différentes pouvez-vous décrire un carré ? Pensez à ses sommets, ses arêtes et sa symétrie. KS3 : Comment pourriez-vous trouver le milieu d’un segment de ligne ? En quoi votre méthode pourrait-elle changer si : · Le segment de ligne a-t-il été dessiné sur un morceau de papier calque ? · Le segment de ligne a été dessiné sur du papier quadrillé ? · Vous aviez une règle ? · Vous aviez les coordonnées des extrémités du segment de droite ? · Vous aviez le vecteur décrivant le trajet d’un bout à l’autre du segment de ligne ? KS4 : Voici deux définitions d’un parallélogramme. Montrez comment chacun conduit à certaines propriétés d’un parallélogramme en utilisant la congruence ou les transformations. a) un quadrilatère avec des côtés opposés parallèles ASTUCE : montrez d’abord les informations d’angle à l’aide des règles d’angle parallèle (étendez les côtés du parallélogramme), puis dessinez une diagonale, travaillez sur les angles et le côté partagé des deux triangles pour montrer la congruence ASA pour que les côtés opposés soient égaux en longueur b) un quadrilatère d’ordre de symétrie de rotation 2 ASTUCE : considérez les images des sommets et des côtés du parallélogramme lorsqu’il est tourné de 180 ˚ , considérez les propriétés spéciales de toute ligne tournée autour de n’importe quel point de 180 ˚KS5 : Étudiez les nombreuses preuves du théorème de Pythagore, y compris chacune des suivantes :
En utilisant des triangles similaires et des facteurs d’échelle de longueur et donc de surface : À l’aide d’un diagramme géométrique et de manipulations algébriques, comme l’étude des différentes représentations algébriques de l’aire de ce trapèze qui est construit à l’aide de 3 triangles rectangles, dont deux sont congruents :
Utilisation des propriétés de cisaillement. Lisez l’explicationiciou rechercher en ligne une animation. |
Il n’y a pas de honte à ne pas connaître les mots… ce qui est dommage, c’est que nous ne sommes pas toujours sûrs de nous arrêter et de demander leur sens. Ne serait-ce pas formidable si nous pouvions tous nous sentir suffisamment à l’aise pour demander une explication ? après tout, c’est ce que nous souhaitons que les étudiants fassent !
Voici quelques extraits de ce blog qui peuvent ou non être utiles.
Milieu : Le point au centre d’un segment de ligne ou à mi-chemin entre deux points.
Altitude d’un triangle : le segment de droite allant du sommet d’un triangle au côté opposé, tel que les deux segments de droite soient perpendiculaires. Chaque triangle a trois hauteurs.
Médiane d’un triangle : le segment de droite allant du sommet d’un triangle au milieu du côté opposé. Chaque triangle a trois médianes.