Tourner en rond

Je me suis souvent demandé pourquoi les élèves semblent avoir tant de mal avec les angles – qu’il s’agisse de comparer la taille des angles dans des diagrammes dessinés à l’échelle, de mesurer des angles ou de déduire leur valeur. Au fur et à mesure que je développais les waypoints d’angle pour le Framework, j’ai été obligé de repenser ma propre conception de ce qu’est un angle et de ce qu’il peut représenter. 

Je viens de terminer un article merveilleux : les concepts de rotation et d’angle des jeunes étudiantsde Michael Mitchelmore (1998). L’article met en évidence à quel point les angles sont déroutants pour nos jeunes apprenants et la variété des situations dans lesquelles nous attendons d’eux qu’ils associent des concepts d’angle sans explication explicite. Nous travaillons avec un angle comme un cadre que nous pourrions modéliser à partir d’un fil, un angle comme quelque chose de plus solide lié à l’espace 2D comme le coin d’une forme, l’angle de vue d’une caméra ou la propagation de l’eau d’un arroseur, et en mouvement , qu’il s’agisse de faire pivoter un objet ou de tourner un coin. Les élèves rencontrent des angles lorsqu’ils discutent de la symétrie, des propriétés des formes, des lieux et des constructions et qu’ils effectuent des transformations, pour n’en citer que quelques-uns. Les angles sont parfois construits avec précision et parfois non dessinés à l’échelle. Même la langue est confuse… pourquoi les angles gauches n’existent-ils pas ? Le mot GAUCHE a même un angle de 90° – dès le début ! 

Mitchelmore suggère de classer les angles de six manières : 

Rotations illimitées : comme les roues et les portes tournantes 

Rotations limitées : comme la molette de volume de votre autoradio ou une clé dans une serrure 

Charnières en I : un objet linéaire qui est articulé autour d’une extrémité et peut pivoter entre des limites bien définies comme une porte 

Charnières en V : deux objets linéaires articulés à un point d’extrémité commun, comme la couverture d’un livre 

X-hinges : deux objets linéaires articulés autour d’un point médian, comme une paire de ciseaux 

Courbes : deux segments de ligne avec un point final commun, où le virage est le résultat du déplacement autour du coin formé. Celui-ci est un peu plus difficile à imaginer mais cela peut aider à imaginer un virage sur la route ou un angle externe d’un polygone. 

En plus de ces catégories, les angles peuvent avoir un caractère dynamique ou statique (Magina, S., 1994). Regardez-vous l’image finale et mesurez-vous un angle – ou regardez-vous l’angle se former ? 

Dans plusieurs des catégories ci-dessus, l’angle n’est pas explicite et des segments de ligne supplémentaires sont nécessaires pour mesurer n’importe quel angle; par exemple mesurer l’angle de rotation d’une poignée de porte. Pour mesurer l’angle de virage, il faudrait identifier le centre, une position de départ et donc définir à la fois la branche de l’angle et la branche d’arrivée (il est même difficile de trouver un vocabulaire simple pour expliquer clairement ces concepts). 

Other considerations include: the true representation of these angles; how to label them accurately and communicate precisely what is to be measured; how the degree unit is developed – and why 360˚? Moreover, when do angles remain invariant? For example, lengthening the arms of an angle doesn’t affect its size, and similar ideas can be explored in reflection, rotation, translation and enlargement. 

These are the kinds of consideration that inform this very important area of the Framework. Mitchelmore suggests that the successful study of this area relies on the abstraction theory of conceptual development in the way that Piaget, Dienes, Skemp and others explain. Having spent 13 years in the classroom, it’s something I recognise in my learners. Abstraction begins when students can draw similarities between a class of experiences, and this similarity itself then becomes a new mental object. In other words, by experiencing each of the situations above and identifying similarities students then develop the concept of an angle. Furthermore, Skemp (1986) would say that this new mental object is at a higher level of complexity than each of the initial abstractions. We study the pieces, recognise the pattern and stand back and see the beautiful picture.

^References: 

^{Magina, S.M.P. (1994) Investigating the factors which influence the child’s conception of angle, Institute of Education, University of London.}

^{Mitchelmore, M.C. (1998) ‘Young Students’ Concepts of Turning and Angle’, Cognition and Instruction 16, 265–284.} 

^{Skemp, R. (1986) The psychology of learning mathematics (2nd ed.), Harmondsworth, England: Penguin}