Voici donc une belle idée que j’ai trouvée dans Developing Thinking in Geometry (Johnston-Wilder et Mason, 2005).
Imaginez une dizaine de feuilles de papier A4. Posez la première feuille en orientation portrait. Maintenant, posez le deuxième sur le premier, coin à coin, de sorte que deux triangles soient créés. Pouvez-vous voir quelque chose d’intéressant se produire? Pouvez-vous prédire ce qui va se passer ?
Maintenant, essayez-le vous-même avec des feuilles A4. Continuez à superposer sur la feuille suivante. Continue! Pouvez-vous voir quelque chose émerger… C’est astucieux !
Était-ce ce que vous aviez prédit ? Pourquoi cela arrive-t-il ?
Maintenant, la vraie question est : est-ce que ce sera toujours le cas ? Que se passe-t-il si j’utilise un format de papier différent ?
Prenez les deux premiers morceaux de papier et tracez le contour du deuxième morceau sur le premier. Pliez le long de ces lignes et considérez ce qui s’est passé. Vous pouvez chasser en angle puis remonter les deux pièces pour vous convaincre que vous regardez bien le sommet d’un octogone régulier.
Maintenant, une fois que vous avez fait le pliage, c’est assez facile à montrer. Mais – et il y a toujours un mais – quelle est la particularité du papier A4 qui vous permet de faire cela ? Pourquoi obtient-on deux triangles rectangles isocèles ?
Voici un rectangle de papier. Sa largeur est a et sa hauteur a + b.
Nous posons un deuxième rectangle sur le premier de sorte que le coin supérieur gauche de la pièce supérieure coïncide avec le coin supérieur droit de la pièce inférieure et que le coin inférieur gauche de la pièce supérieure coïncide avec le bord gauche des pièces inférieures.
Il en résulte qu’un triangle de la première feuille reste découvert en haut à gauche.
Examinons ce triangle.
Nous savons que sa base (en haut 🙂 ) est a et son hypoténuse est a + b .
Donc sa hauteur, h, est √[(a + b) 2 – a 2 ]
Lorsque nous complétons cela avec du papier A4, cette hauteur est un … mais pourquoi ? Quel est le rapport de a+b à a ?
Maintenant, vous pouvez soit taper les côtés du format papier A4 dans un moteur de recherche, soit faire les calculs vous-même (beaucoup plus amusant).
Pour du papier A4 (a + b) 2 – a 2 = a 2 et on veut savoir a + b : a
(a + b) 2 = 2a 2 signifiant a + b = √2a et donc (a+b)/a = √2 et a + b : a vaut √2 : 1
En examinant cela un peu plus loin, vous pouvez découvrir que le papier A4 (et dans ce cas tout le papier A) est en effet conçu dans le rapport de √2 : 1. C’est ce qu’on appelle le rapport de Lichtenberg et permet la propriété de mise à l’échelle des différentes tailles A. – la façon dont deux feuilles A4 se rejoignent pour former A3 et ainsi de suite.
Maintenant, mon esprit commence à vouloir savoir comment former d’autres polygones réguliers ?
Quelles belles spirales puis-je produire ?
Et si vous lisez ceci et vivez aux États-Unis, au Canada et même dans certaines parties du Mexique et que vous ne pouvez pas mettre la main sur du papier A4 tout de suite ? Et si j’utilise des enveloppes, des magazines, des cahiers de maths ? Je vous laisse méditer.
| QUELQUE CHOSE À ESSAYER :
KS1 : En posant (3) feuilles de papier A4 les unes sur les autres, faites un carré. KS2 : Si un morceau de A4 fait deux morceaux de A5 et un morceau de A5 fait deux morceaux de A6, combien de morceaux de A7 pouvez-vous faire à partir d’un morceau de A1 ? KS3 : Vous essayez de superposer des morceaux de papier carrés comme ci-dessus. Pourquoi ça ne marchera pas ? KS4 : Sachant que les côtés de A4 sont dans le rapport 1 :√2, quels angles se forment lorsque vous dessinez en diagonale ? KS5 : Quel rapport de papier entraînerait la formation d’un hexagone lorsque les feuilles sont superposées comme ci-dessus ? |