Néanmoins, c’est un merveilleux morceau de mathématiques avec d’innombrables belles explications qui peuvent être étudiées sous des angles très différents – permettant aux élèves de construire un répertoire de différentes représentations entre lesquelles ils peuvent se déplacer de manière flexible.
Voici quelques explications (j’évite le mot preuve en ce moment tout en lisant davantage sur son utilisation) que j’ai rencontrées en lisant, en parlant et en réfléchissant à des idées. As-tu une préférence? Veuillez ajouter le vôtre !
Méthode 1 : En discussion avec le Prof Martin Hyland
Cette explication repose sur la compréhension des facteurs d’échelle de la zone.
Vous devriez être capable d’identifier trois triangles similaires ; une avec l’hypoténuse a, une avec l’hypoténuse b une avec l’hypoténuse c. La somme des aires des triangles d’hypoténuse a et b est égale à l’aire du triangle d’hypoténuse c.
Aire du triangle sur c = aire du triangle sur a + aire du triangle sur b
Si nous parlons d’une relation entre les aires des trois triangles similaires, nous pourrions considérer trois formes similaires reliées par les arêtes a, b et c. Il se pourrait que a, b et c soient les côtés de trois triangles équilatéraux,
Ainsi
ou trois diamètres de trois demi-cercles,
Ainsi
ou même les côtés de trois carrés.
Ainsi
Méthode 2
Une explication plus formelle utilisant des facteurs d’échelle.
Trois triangles semblables. △1 avec hypoténuse a, △2 avec hypoténuse b, △3 avec hypoténuse c, avec des facteurs d’échelle tels que
aire de△1 xs 1 2 = aire de△2
aire de△2 xs 2 2 = aire de△3
aire de△1 + aire de△2 = aire de△3
aire de△1 + aire de△1 xs 1 2 = aire de△3
aire de△1 + aire de△1 xs 1 2 = aire de△2 xs 2 2
aire de△1 + aire de△1 xs 1 2 = aire de△1 xs 1 2 xs 2 2
Méthode 3
Une autre méthode utilisant l’égalité des rapports des côtés dans des triangles semblables.
Méthode 4
Trouver et mettre en équation deux expressions pour l’aire de la forme ci-dessous (il existe de nombreuses versions de ce style d’explication).
Méthode 5
Traduire les quatre triangles rectangles dans un cadre carré.
Si quatre triangles rectangles comme indiqué sur l’image de gauche sont déplacés (translatés) dans le même cadre carré de sorte qu’ils forment deux rectangles comme sur l’image de droite, le reste de l’espace reste inchangé, mais est clairement indiqué par c 2 à gauche et a 2 + b 2 à droite, démontrant leur équivalence.
Méthode 6
Mon préféré : utiliser le cisaillement, la rotation et l’égalité de surface.
et répétez pour l’autre carré du côté non hypoténuse du triangle…
Quelle que soit votre approche du théorème de Pythagore, il existe de nombreuses façons d’expliquer les idées et la structure à l’œuvre ici. Il est important de noter que chacune de ces discussions met l’accent sur le fait que nous parlons d’une relation entre les zones. Nous utilisons ensuite cette relation pour trouver les longueurs de côté manquantes. Comment traitez-vous ce sujet et quelle en est votre explication ?
J’aimerais connaître votre explication, démonstration ou approche préférée du théorème de Pythagore.