Fais tourner mon monde

En considérant les caractéristiques d’un rectangle, cet ensemble remettrait en question la pensée de certains élèves : 

D’autres idées utiles incluent d’encourager les élèves à faire tourner leur travail (ou eux-mêmes), à imaginer un produit final ou à inclure des composants supplémentaires dans un diagramme pour rechercher des objets connus qui pourraient autrement être cachés. 

Maintenant, essayez ceci : comment trouver l’aire de chaque carré dans le diagramme ci-dessous ? 

Certains élèves disent que c’est impossible parce qu’aucune mesure n’est incluse. Certains choisissent une valeur numérique pour une dimension d’une forme et résolvent le problème. 

D’autres marquent le rayon du cercle r et travaillent à travers les carrés séparément. 

Le grand carré a une largeur (et donc une hauteur) égale au diamètre du cercle. Son aire est donc 2r x 2r = 4r ² 

Le petit carré …? 

C’est là que ces élèves commencent souvent à se gratter la tête. Un élève en particulier est passé par l’argument suivant : 

Le petit carré a une diagonale 2r, qui est aussi l’hypoténuse du triangle rectangle isocèle. 

Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, la longueur du côté du carré, s peut être trouvée en résolvant; 

(2r) ² = 2s ² 

4r ² = 2s ² 

√2 r = s 

The area of a square is the square of its side length so the area of the square is 2r² 

2r is also the base of an isosceles right angled triangle whose height is r, so the area is a half of 2r². Since we have two of these the answer is 2r² 

I was genuinely impressed, but the pupils in question thought that the answer was too simple to warrant this train of thought. 

Another then suggested simply rotating the central square 45º. Is it all a lot clearer now? 

You may now realise that you really don’t need to think much beyond the fact that the small square is half the area of the large square. Not only is life so much simpler, but I would argue that this gives us a much more general answer that doesn’t require including measurements and variables; in fact the relationship between all three shapes can be derived no matter which shape has a dimension included. 

Allowing pupils to adapt mathematical objects in a way that doesn’t affect important characteristics encourages careful consideration – this pupil knew that rotation left area invariant – and can result in some much simpler problems to solve.