Dans mon dernier blog sur ce thème, j’ai tracé un parcours à travers une série de discussions et d’activités visant à développer certains des théorèmes du cercle en commençant par considérer la ligne miroir. Dans ce blog, je décris un parcours similaire développé à nouveau à partir des travaux de Fujita et Jones (2002), Godfrey et Siddons (1912) et Mason (2010).
Il s’agit d’une approche pratique où les élèves développent une compréhension et une explication de la construction d’une bissectrice d’angle et de plusieurs théorèmes du cercle. Encore une fois, le concept d’un cercle en tant qu’ensemble de points équidistants du centre est essentiel et je recommanderais de travailler vous-même sur les activités pour acquérir une compréhension approfondie de la façon dont l’histoire se développe.
Commencez par dessiner ce schéma à main levée. Chaque cercle touche les deux segments de ligne qui se rencontrent en un point.
Quel est le lieu des centres des cercles ? Si vous pliez le long de ce lieu, que se passerait-il ? Testez vos idées.
Pourquoi cela arrive-t-il?
Considérez le schéma ci-dessous et comparez les longueurs OA et OB, AC et BC et les conséquences de ces faits.
C’est une belle activité, car il se passe tellement de choses ici…
Plier le long de la ligne pointillée bleue revient à plier le long d’un diamètre, d’où une ligne miroir du cercle lui-même. AC et BC sont des rayons d’un même cercle donc égaux en longueur ; le pliage le long du lieu des centres des cercles A et B montre qu’ils coïncident, donc OA et OB sont égaux en longueur et les angles AOC et COB sont égaux en taille. Pensons maintenant aux conséquences de ceux-ci; les triangles OAC et OBC sont congruents, vous pouvez le “voir” lorsque vous pliez le long de la ligne mais aussi parce que les trois côtés correspondent. Dans mon blog précédent, nous avons établi qu’une tangente rencontre un rayon à angle droit, donc les angles OAC et OBC sont tous les deux de 90˚
Comment pouvons-nous utiliser ces faits pour construire la bissectrice de l’angle ?
Quels théorèmes du cercle avons-nous découverts ?
Je vous laisse réfléchir à ceux-ci – veuillez laisser un commentaire ci-dessous sur ce que serait votre prochaine étape.
Cette histoire ne s’achève pas en une journée, mais en plusieurs visites soulignées dans d’autres leçons – à chaque visite elle s’affine et se formalise progressivement. En retournant certains de ces problèmes et en choisissant / concevant intelligemment un point de départ – souvent une construction informelle – nous ouvrons tout un monde merveilleux de théorèmes et de constructions de cercle. Au fur et à mesure que je développe le domaine de la géométrie du Cambridge Mathematics Framework, je commence vraiment à comprendre pleinement l’importance des constructions : comment elles permettent une compréhension beaucoup plus profonde de la géométrie et à quel point elles font partie intégrante du sujet. Ils ne sont pas simplement quelque chose à copier et à répéter de manière procédurale sans comprendre, mais offrent plutôt une fenêtre sur la façon dont les formes sont construites et leurs éléments constitutifs. Au fur et à mesure que je plonge dans les mathématiques de niveau supérieur, les idées établies plus bas sont développées,
| QUELQUE CHOSE A ESSAYER
KS1 : À l’aide de paires de compas ou de ficelle et de punaises, demandez aux élèves de recréer les schémas suivants. Discutez de ce qui est important dans la manière dont les cercles sont construits ; par exemple, où se trouvent leurs centres, comment se comparent leurs rayons.
KS2 : À l’aide de compas, demandez aux élèves de recréer exactement les schémas suivants (vous devrez les imprimer suffisamment grands pour les recréer). Discutez de ce qui est important dans la manière dont les cercles sont construits, par exemple où se trouvent leurs centres, comment leurs rayons se comparent, quelles mesures ont été prises (c’est assez délicat !)
KS3 : Analysez le schéma ci-dessous. Notez autant de faits que vous pouvez sur le diagramme (avec vos raisons) et les questions que vous avez.
KS4 : Un excircle d’un triangle est un cercle situé à l’extérieur du triangle, tangent à l’un de ses côtés et tangent aux extensions des deux autres. Pour un triangle, construisez les trois cercles excentrés.
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