De la symétrie aux théorèmes du cercle

En parcourant différents documents de recherche, guides pédagogiques et manuels, je peux souvent tracer un chemin mathématique à travers les années scolaires. C’est l’une des belles choses que j’ai l’occasion de faire – réunir des idées apparemment disjointes à l’école primaire avec des problèmes géométriques difficiles que les élèves pourraient ne pas rencontrer avant le secondaire. 

Un tel cas est celui de la symétrie, des constructions et des théorèmes du cercle. Ci-dessous, j’ai rassemblé les travaux de Fujita et Jones (2002), Godfrey et Siddons (1912) et Mason (2010). Je devrais également à ce stade reconnaître le travail du Dr Nicola Bretscher , UCL Institute of Education – participer à ses ateliers sur les théorèmes du cercle à l’aide de Geogebra a été incroyablement utile pour comprendre comment des tâches de construction informelles et formelles soigneusement conçues peuvent révéler de beaux résultats. 

Supposons que vous n’ayez pas encore rencontré de théorèmes de cercle ou de constructions formelles, mais que vous ayez établi mentalement le concept de cercle comme l’ensemble de points équidistants d’un centre. Voici une série de tâches à considérer. Ils valent la peine d’être complétés au fur et à mesure – pas de triche et de lecture à l’avance ! Ces tâches sont conçues pour couvrir une série d’années : chaque visite affinant les idées en travaillant vers des procédures formalisées avec compréhension. Pour moi, ils soulignent la nécessité d’établir des liens entre les domaines des mathématiques et de s’assurer que les élèves peuvent expliquer ce qui se passe. 

Commençons par étudier les lignes miroir. Quelles relations géométriques existent entre la ligne miroir et les paires de points correspondants sur un objet et son image ? Choisissez n’importe quel point sur la ligne miroir et joignez-le avec des segments de ligne à un point sur l’objet et au point correspondant sur son image. Que remarquez-vous au sujet des segments de ligne ? Alors, comment pouvez-vous utiliser des cercles pour construire des points sur la ligne miroir ? Combien de points faudrait-il identifier pour trouver la droite miroir ? Pourquoi? 

En suivant ce cheminement de pensée, vous avez établi que tout point sur une ligne miroir est exactement à la même distance entre n’importe quelle paire de points correspondants sur l’objet et son image. Une bonne façon de penser – ou d’expérimenter – ceci est de plier le long de la ligne miroir : les points correspondants se chevauchent, donc les joindre à n’importe quel point sur la ligne miroir indique clairement qu’ils sont à la même distance de ce point. 

Une façon de définir une ligne dans une position particulière est de trouver (un minimum) de deux points qui se trouvent sur la ligne. Par conséquent, nous pouvons construire la ligne miroir si nous pouvons trouver deux points dessus. Ceci peut être réalisé en construisant deux cercles, chacun ayant le même rayon, l’un avec un point sur l’objet comme centre et l’autre avec le point image correspondant comme centre – autour de deux points correspondants sur l’objet et son image – aussi longtemps car les cercles se croisent deux fois. Une alternative consiste à construire deux paires d’arcs correspondants – ils n’ont même pas besoin de provenir des mêmes points correspondants. 

Nous avons donc construit la ligne miroir. Si nous choisissons une paire de points correspondants, ils sont tous les deux à la même distance de n’importe quel point de cette ligne. 

Quand ces cercles ne se toucheraient-ils qu’une seule fois ? Pourquoi? Qu’est-ce que cela vous dit sur un rayon et une tangente (une ligne qui touche la circonférence mais ne la traverse pas) ? Utilisez le schéma ci-dessous pour expliquer ce qui se passe : 

La distance la plus courte entre deux points est la ligne droite entre eux (la ligne pointillée dans l’image ci-dessous) de sorte que les cercles se touchent une fois lorsque leur rayon est la moitié de cette distance (rappelez-vous que les cercles sont identiques) – plus court et les cercles ne seront pas rencontrer. Pensons maintenant à un autre point sur la ligne miroir et joignez-le aux points correspondants sur l’objet et son image. Que pouvez-vous dire maintenant ? Utilisez les discussions ci-dessus (et votre connaissance des triangles isocèles) pour justifier pourquoi la ligne pointillée et la ligne miroir sont perpendiculaires l’une à l’autre. Par conséquent, vous avez construit la bissectrice perpendiculaire entre les deux points et trouvé qu’une tangente rencontre un rayon à 90˚. 

Embarquées dans ce courant de pensée se trouvent également des informations sur un accord et le rayon. Commençons par un cercle touchant la ligne miroir et augmentons son rayon. 

L’analyse de ce schéma est passionnante. La corde (maintenant en rouge) est perpendiculaire au rayon, ses extrémités sont à la même distance du point indiqué sur l’objet et l’image, donc en fait la ligne pointillée est maintenant une ligne miroir entre les deux extrémités de la corde – c’est donc une bissectrice perpendiculaire de la corde. En d’autres termes, la bissectrice perpendiculaire d’une corde passe par le centre du cercle. 

En fait, enquêter et démonter cette construction est extrêmement puissant. Creusez encore plus loin et vous avez la construction d’un losange via ses diagonales (en rappelant que les diagonales d’un losange sont des bissectrices perpendiculaires l’une de l’autre). 

L’ouverture de l’esprit des élèves à ce genre d’expériences commence dès les premières années. Nous demandons aux élèves ce qu’ils remarquent sur les reflets. Que se passe-t-il si une forme se rapproche du miroir ? Ils s’habituent à remarquer et sont encouragés à expliquer et à justifier s’ils sont convaincus. Des exemples de haute qualité à discuter et des enseignants qui peuvent avoir une vue d’ensemble du développement sont essentiels – et, dans la mesure du possible, des ressources telles que des environnements de géométrie dynamique facilitent davantage la progression.