Étant donné qu’il existe un motif dans la séquence :
2 2 x 3 4 , 2 3 x 3 4 , 2 2 x 3 5 , 2 4 x 3 4 , 2 2 x 3 4 x 5 , 2 3 x 3 5 , …
Écrivez les six termes suivants de la séquence, tous sous forme de facteurs premiers. Après avoir accompli cela, écrivez le 200 e terme sous forme de facteurs premiers et décrivez une méthode qui fournira la factorisation en nombres premiers du n ième terme de la séquence.
(Brun, 2002)
J’ai trouvé ce problème dans un article qui commençait par suggérer que ce que je poursuivrais aurait plus de sens si je m’arrêtais et résolvais le problème en premier. Ce genre de chose semble se produire assez souvent dans la lecture « mathématique » – à tel point qu’elle semble souvent constituer une sorte de lecture très spéciale qui nécessite d’avoir un stylo et du papier à portée de main !
Je vous demande maintenant de faire comme moi et de réfléchir un peu à ce problème. Lorsque vous vous sentez satisfait d’avoir “une idée” de la séquence présentée et d’avoir “résolu” les questions particulières posées, alors lisez la suite…
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Ma première question est maintenant : avez-vous suivi les instructions ? Ou avez-vous jeté un coup d’œil sournois au reste de ce blog et êtes-vous revenu sur le problème plus tard ?
Cela peut être reformulé pour demander : dans quelle mesure étiez-vous à l’aise, ou non, pour aborder un problème qui est présenté « nu » : sans aucune mise en scène, mise en contexte ou objectif mathématique proposé à travers lequel regarder ?
Je suis souvent intéressé à réfléchir à mes propres réponses et à celles des autres face à ce genre de tâche. Il y a des moments où je ressens une inquiétude tenace à l’idée que je pourrais “perdre” du temps sur quelque chose qui ne m’est pas utile (ou qui ne l’est pas immédiatement), dans mon contexte. Ce sentiment peut être médiatisé par la présentation du problème lui-même : si je fais confiance à la personne qui me demande de le faire, je suis plus disposé à me conformer. Il est également affecté par l’attrait du problème lui-même, et je pense que c’est quelque chose de très personnel. J’ai trouvé le problème ci-dessus immédiatement intrigant et je n’ai pas eu besoin de beaucoup de persuasion pour déterrer du papier et explorer.
Lors de mon premier examen du problème, j’ai ressenti cette légère panique qui accompagne le fait de voir quelque chose dont je ne peux pas immédiatement voir le chemin. Je n’ai pas l’habitude de voir des séquences présentées sous forme de facteurs premiers et au départ, j’avais l’impression que cela masquait le motif sous-jacent – une partie de moi voulait revenir à la sécurité de la forme décimale ordinaire. Mais, au lieu de cela, j’ai soigneusement copié la séquence dans mon cahier, me forçant à commencer à réfléchir à ce qui est resté le même et à ce qui a changé au fur et à mesure que j’écrivais des termes successifs.
Ce genre de chose est arrivé…
Suivie par…
Et cela m’a fait réfléchir à la facilité avec laquelle il est possible de compartimenter la factorisation première en tant qu’élément mathématique associé à des procédures particulières qui sont apprises puis appliquées dans des circonstances très spécifiques. Lorsque j’enseignais, je ne pense pas avoir mis l’accent sur la structure multiplicative sous-jacente des nombres naturels et sur l’utilisation de la forme à facteurs premiers comme représentation transparente du nombre par rapport aux questions de divisibilité, par exemple. Les questions ci-dessous sont de nature très différente de celles que j’ai rencontrées avec des étudiants.
Considérons le nombre M = 3 3 x 5 2 x 7
- a)M est-il divisible par 7 ?
- b)M est-il divisible par 5 ? par 2 ? par 9? par 63? à 11 heures ? à 15 ?
- c)Est-ce que 3 2 x 5 x 7 3 est un multiple de M ?
- d)Est-ce que 3 4 x 5 2 x 7 3 x 13 18 est un multiple de M ?
(Brown et al. 2002)
Ce type de question aide peut-être à révéler une partie de la structure multiplicative sous-jacente des nombres naturels et offre des opportunités de développer une meilleure compréhension conceptuelle des procédures standard (comme trouver le facteur commun le plus élevé ou le multiple commun le plus bas d’une paire de nombres). J’aurais aimé avoir utilisé de telles questions plus tôt!
En revenant à ces concepts «de base» des nombres impa
irs et pairs, je suis maintenant plus profondément conscient de l’importance de reconnaître qu’il s’agit de plus qu’une propriété du dernier chiffre d’un nombre. Considérez, par exemple, ces questions :
Pour chacun des nombres listés ci-dessous, décidez s’il est pair ou impair :
1) 1234567
2) 34 cinq (34 en base cinq)
3) 121 trois
4) 3 100
5) 3 99
6) 2 100 + 3
7) 6 71
8) 7 50 x 3 40
9) 1234567 x 2 40
( Zazkis 1998 )
Établir des liens explicites entre la divisibilité, la factorisation des nombres premiers et la « bizarrerie » et la « régularité » m’a aidé à fonder ma réflexion sur des idées autrement isolées dans un réseau plus complexe d’expériences antérieures. Je soupçonne que cela améliorerait ma capacité à communiquer et faciliterait également l’apprentissage de ces choses en classe. Cela fait partie d’un modèle plus large dans le travail que nous effectuons sur le Cambridge Mathematics Framework : explorer et prêter attention aux liens riches entre les idées en mathématiques et considérer les implications pour l’enseignement et l’apprentissage.