Un puzzle plat (carrelage) avec des dizaines ou des centaines de pièces identiques peut sembler un peu terne et prévisible. Mais quelle est la forme la plus intéressante que nous puissions utiliser pour obtenir les designs les plus insolites et les plus variés ? Pour le rendre plus intéressant visuellement, disons que nous voulons une forme sans bords droits, uniquement des courbes. Les directives suivantes devraient nous aider à démarrer.
Utilisons des arcs de cercle, tous avec le même rayon d’une unité de longueur. Par la suite nous ne parlerons plus de longueurs ; juste sur les angles. Ce sont les angles des arcs et des angles des coins. Pour un bon pavage, ces angles doivent être des diviseurs de 360° tels que des multiples de 12° ou 15° : angles « agréables ».
Puisque les arcs doivent s’emboîter, il doit y avoir autant d’arc concave que d’arc convexe.
Nous examinerons les formes qui se mosaïquent au moins périodiquement, c’est-à-dire en les répétant dans une traduction simple, mais recherchons des mosaïques qui s’emboîtent après la rotation, avec plus d’options, mieux c’est.
Disons que nous sommes libres d’utiliser le reflet ou l’image miroir de la forme. Cela peut ne pas sembler important au début avec des formes symétriques, mais le sera plus tard avec des formes et des pavages plus complexes.
Encercler le carré Il est plus simple de commencer avec un carré, car nous pouvons simplement remplacer les côtés par deux arcs concaves et deux convexes, et obtenir un pavage basé sur des carrés adjacents, comme indiqué ci-dessous. On peut commencer par des arcs de 90°, qui pourraient encercler le carré. La forme inférieure ci-dessous s’affichera à nouveau. Il est utilisé depuis des siècles. Puisqu’il pourrait être considéré comme un crabe en fer à cheval stylisé, nous l’appellerons le crabe.
L’angle de l’arc peut être n’importe quelle valeur jusqu’à 180°, comme indiqué ci-dessous.
Des résultats similaires peuvent être obtenus en commençant par un losange, mais avec une vue plus déformée :
Essayer des triangles Si nous voulons commencer avec un triangle, cela devient plus difficile à cause des trois côtés. Nous ne pouvons pas simplement remplacer les trois côtés d’un triangle équilatéral par des arcs identiques, car nous ne pourrons pas obtenir la même quantité d’arcs convexes et concaves. Un triangle rectangle de 45° peut être facilement converti en mettant un arc de 180° sur l’hypoténuse et des arcs de 90° sur les deux plus petits côtés. Cela nous donne à nouveau le crabe.
Tout triangle rectangle peut être converti en une forme de pavage, en plaçant un arc convexe de 180 ° sur l’hypoténuse et des arcs concaves de même rayon sur chacun des petits côtés. En effet, tout triangle rectangle peut s’inscrire dans un demi-cercle.
Cette forme peut se mosaïquer périodiquement, et certains cas particuliers – tels que les conversions de triangles rectangles à 45 ° et 30 ° / 60 ° – donnent des formes avec des angles agréables qui peuvent également se mosaïquer avec des rotations. Mais avec tous les autres triangles rectangles, nous ne pouvons pas facilement obtenir les angles finaux agréables que nous voulons.
Boucler la boucle
Si nous commençons avec un cercle entier, nous voudrons remplacer la moitié de la circonférence par des arcs concaves. Nous pourrions commencer par créer deux arcs concaves à 90 °, soit l’un en face de l’autre, soit l’un à côté de l’autre, et obtenir les deux mêmes formes que nous avons initialement obtenues en utilisant des carrés. On peut également utiliser trois arcs concaves de 60°. Cela peut être fait dans les trois arrangements indiqués ci-dessous.
Ces formes peuvent également être réalisées en utilisant un hexagone comme point de départ. La forme ci-dessus à droite – avec les trois découpes concaves adjacentes – peut être modifiée avec d’autres tailles ou arcs concaves. Si nous restons symétriques, nous pouvons utiliser diverses combinaisons d’arcs concaves totalisant 180°, comme indiqué ci-dessous. Ceux-ci seront tous carrelés de la même manière périodique. Si la découpe médiane inférieure est réduite à néant, nous n’aurons plus que deux arcs concaves à 90° : le Crabe encore.
Cette approche avec trois découpes concaves dans la moitié inférieure peut également être utilisée en fonction d’une forme de lentille. La lentille est créée en prenant un arc (jusqu’à 180 degrés) et en le reflétant sur ses extrémités. C’est le cas plus général du cercle. Comme nous l’avons fait avec le cercle, nous pouvons faire trois découpes concaves délimitées par l’un des arcs, avec un pavage périodique similaire.
Toutes les formes ci-dessus se tuilent principalement de manière prévisible et périodique, mais avec une large gamme d’angles d’arc et d’angles de coin possibles. Certains d’entre eux peuvent s’emboîter de manière plus complexe, avec une rotation et plus de choix pour le carrelage. Comment pouvons-nous obtenir le maximum de flexibilité à partir d’une seule forme ? ou mieux, d’une famille de formes ?
Lentilles trifocales
La famille de formes avec la plus grande flexibilité globale a trois côtés. Mais n’est pas construit à partir d’un triangle; il commence plutôt par les angles ou arcs de coin souhaités dans le cadre d’une forme de lentille. Disons que nous voulons une forme en forme de triangle avec des angles d’angle utilisables de 30° et 60°. Ce seront également les angles des deux arcs concaves. Nous pourrions commencer la construction avec ceux-ci, mais il est plus facile de commencer avec la lentille à grand arc qui sera la somme de ceux-ci, soit 90°. Nous faisons donc un arc de 90° et l’inversons pour créer une forme de lentille. Ensuite, marquez deux arcs plus petits – là où ils se rencontrent sur l’arc en miroir – et mettez chacun d’eux en miroir autour de leurs extrémités.
La forme résultante permet une flexibilité surprenante pour le carrelage.
Le gros avantage de cette approche est que nous choisissons d’abord les angles d’angle, et le reste suit. Si nous voulons construire un carrelage autour d’étoiles ou de fleurs à 5 branches, nous pouvons choisir de petits angles de, disons, 36° et 72°. En supposant que nous utilisons des angles raisonnables, cette construction et ce carrelage fonctionnent pour tout grand angle jusqu’à 180°, et tout proportionnement des deux arcs plus petits. L’angle d’angle opposé au grand arc convexe est toujours le supplément (différence de 180°) du grand arc. Et les angles de coin plus petits sont toujours les mêmes que les arcs concaves.
Conclusion
L’approche ci-dessus nous permet de créer une large gamme de formes, avec des pavages complexes et variés qui sont radiaux/polaires, périodiques ou non périodiques, ou une combinaison de ceux-ci. Cette nouvelle famille de formes que nous pouvons appeler tricourbes. Essayez ceci, explorez les possibilités et partagez ce que vous trouvez ! Pour plus d’informations sur les tricurves, voir l’entrée et l’article de la National Curve Bank et plus d’images
L’approche de l’arc
Un puzzle plat (carrelage) avec des dizaines ou des centaines de pièces identiques peut sembler un peu terne et prévisible. Mais quelle est la forme la plus intéressante que nous puissions utiliser pour obtenir les designs les plus insolites et les plus variés ? Pour le rendre plus intéressant visuellement, disons que nous voulons une forme sans bords droits, uniquement des courbes. Les directives suivantes devraient nous aider à démarrer.
Encercler le carré
Il est plus simple de commencer avec un carré, car nous pouvons simplement remplacer les côtés par deux arcs concaves et deux convexes, et obtenir un pavage basé sur des carrés adjacents, comme indiqué ci-dessous. On peut commencer par des arcs de 90°, qui pourraient encercler le carré. La forme inférieure ci-dessous s’affichera à nouveau. Il est utilisé depuis des siècles. Puisqu’il pourrait être considéré comme un crabe en fer à cheval stylisé, nous l’appellerons le crabe.
L’angle de l’arc peut être n’importe quelle valeur jusqu’à 180°, comme indiqué ci-dessous.
Des résultats similaires peuvent être obtenus en commençant par un losange, mais avec une vue plus déformée :
Essayer des triangles Si
nous voulons commencer avec un triangle, cela devient plus difficile à cause des trois côtés. Nous ne pouvons pas simplement remplacer les trois côtés d’un triangle équilatéral par des arcs identiques, car nous ne pourrons pas obtenir la même quantité d’arcs convexes et concaves.
Un triangle rectangle de 45° peut être facilement converti en mettant un arc de 180° sur l’hypoténuse et des arcs de 90° sur les deux plus petits côtés. Cela nous donne à nouveau le crabe.
Tout triangle rectangle peut être converti en une forme de pavage, en plaçant un arc convexe de 180 ° sur l’hypoténuse et des arcs concaves de même rayon sur chacun des petits côtés. En effet, tout triangle rectangle peut s’inscrire dans un demi-cercle.
Cette forme peut se mosaïquer périodiquement, et certains cas particuliers – tels que les conversions de triangles rectangles à 45 ° et 30 ° / 60 ° – donnent des formes avec des angles agréables qui peuvent également se mosaïquer avec des rotations. Mais avec tous les autres triangles rectangles, nous ne pouvons pas facilement obtenir les angles finaux agréables que nous voulons.
Boucler la boucle
Si nous commençons avec un cercle entier, nous voudrons remplacer la moitié de la circonférence par des arcs concaves. Nous pourrions commencer par créer deux arcs concaves à 90 °, soit l’un en face de l’autre, soit l’un à côté de l’autre, et obtenir les deux mêmes formes que nous avons initialement obtenues en utilisant des carrés.
On peut également utiliser trois arcs concaves de 60°. Cela peut être fait dans les trois arrangements indiqués ci-dessous.
Ces formes peuvent également être réalisées en utilisant un hexagone comme point de départ.
La forme ci-dessus à droite – avec les trois découpes concaves adjacentes – peut être modifiée avec d’autres tailles ou arcs concaves. Si nous restons symétriques, nous pouvons utiliser diverses combinaisons d’arcs concaves totalisant 180°, comme indiqué ci-dessous. Ceux-ci seront tous carrelés de la même manière périodique. Si la découpe médiane inférieure est réduite à néant, nous n’aurons plus que deux arcs concaves à 90° : le Crabe encore.
Cette approche avec trois découpes concaves dans la moitié inférieure peut également être utilisée en fonction d’une forme de lentille. La lentille est créée en prenant un arc (jusqu’à 180 degrés) et en le reflétant sur ses extrémités. C’est le cas plus général du cercle. Comme nous l’avons fait avec le cercle, nous pouvons faire trois découpes concaves délimitées par l’un des arcs, avec un pavage périodique similaire.
Toutes les formes ci-dessus se tuilent principalement de manière prévisible et périodique, mais avec une large gamme d’angles d’arc et d’angles de coin possibles. Certains d’entre eux peuvent s’emboîter de manière plus complexe, avec une rotation et plus de choix pour le carrelage. Comment pouvons-nous obtenir le maximum de flexibilité à partir d’une seule forme ? ou mieux, d’une famille de formes ?
Lentilles trifocales
La famille de formes avec la plus grande flexibilité globale a trois côtés. Mais n’est pas construit à partir d’un triangle; il commence plutôt par les angles ou arcs de coin souhaités dans le cadre d’une forme de lentille.
Disons que nous voulons une forme en forme de triangle avec des angles d’angle utilisables de 30° et 60°. Ce seront également les angles des deux arcs concaves. Nous pourrions commencer la construction avec ceux-ci, mais il est plus facile de commencer avec la lentille à grand arc qui sera la somme de ceux-ci, soit 90°. Nous faisons donc un arc de 90° et l’inversons pour créer une forme de lentille. Ensuite, marquez deux arcs plus petits – là où ils se rencontrent sur l’arc en miroir – et mettez chacun d’eux en miroir autour de leurs extrémités.
La forme résultante permet une flexibilité surprenante pour le carrelage.
Le gros avantage de cette approche est que nous choisissons d’abord les angles d’angle, et le reste suit. Si nous voulons construire un carrelage autour d’étoiles ou de fleurs à 5 branches, nous pouvons choisir de petits angles de, disons, 36° et 72°.
En supposant que nous utilisons des angles raisonnables, cette construction et ce carrelage fonctionnent pour tout grand angle jusqu’à 180°, et tout proportionnement des deux arcs plus petits. L’angle d’angle opposé au grand arc convexe est toujours le supplément (différence de 180°) du grand arc. Et les angles de coin plus petits sont toujours les mêmes que les arcs concaves.
Conclusion
L’approche ci-dessus nous permet de créer une large gamme de formes, avec des pavages complexes et variés qui sont radiaux/polaires, périodiques ou non périodiques, ou une combinaison de ceux-ci. Cette nouvelle famille de formes que nous pouvons appeler tricourbes.
Essayez ceci, explorez les possibilités et partagez ce que vous trouvez !
Pour plus d’informations sur les tricurves, voir l’entrée et l’article de la National Curve Bank et plus d’images