Il y a quelque temps, j’ai écrit un blog sur certaines des façons dont vous pouvez aborder la preuve du théorème de Pythagore. Depuis lors, j’ai lu d’autres articles et suis tombé sur un beau bijou – et en effet, je pense que mon nouveau héros en mathématiques !
Avez-vous déjà entendu parler du professeur Paulus Gerdes ? Il a consacré sa vie à ce qui était la nouvelle République populaire du Mozambique, connue aujourd’hui sous le nom de Mozambique. Enseignant, gestionnaire, administrateur et conseiller d’une succession de ministres de l’éducation, il était également un professeur respecté de mathématiques avec des spécialités en géométrie et en culture et histoire des mathématiques.
Le professeur Gerdes était un ethnomathématicien. L’ethnomathématique implique l’étude de ceux qui ont été oubliés dans l’histoire des mathématiques, reconnaissant et suggérant des preuves de l’idée que ces connaissances devraient jouer un rôle dans l’enseignement des mathématiques. Le travail des ethnomathématiciens contribue au maintien de la mémoire culturelle collective et nationale, et prévient la perte permanente d’idées originales et créatives en mathématiques (Gerdes, 2017).
Ce travail est particulièrement pertinent lorsque l’on considère le théorème de Pythagore. Rien que son nom (sinon vos cours de mathématiques) vous incite à croire que ce théorème était une nouvelle découverte, trouvée et prouvée par le philosophe grec vers 500 avant notre ère. En fait, non seulement il existe des preuves d’une compréhension des triangles rectangles depuis l’époque babylonienne (vers 2000 avant notre ère), mais les premières preuves en Chine, entre autres, pourraient bien avoir été développées indépendamment du travail de Pythagore. De plus, une pléthore de belles preuves existent, jusqu’à nos jours, qui ont été développées en dehors du continent européen. Il y a même des spéculations (Zitarelli, 2007) qu’il y avait une certaine communication entre l’Est et l’Ouest concernant la relation entre des formes similaires dessinées sur les côtés d’un triangle rectangle – potentiellement à travers les propres voyages de Pythagore et/ou ceux de marchands et hommes d’affaires chinois. Après avoir appris cela, j’ai l’impression d’être un terme impropre en l’appelant «théorème de Pythagore» – j’ai choisi de passer au «théorème de Pythagore» pour l’instant, qui a toujours ses inconvénients mais au moins est largement reconnaissable.
En 1988, Paulus Gerdes a écrit un article pour For the Learning of Mathematics intitulé « A Widespread Decorative Motif and the Pythagorean Theorem ». Il traite d’un motif géométrique intrigant et spécifique qui a été identifié dans le monde entier : un motif alterné de carrés noirs et blancs (dans ce cas), nommé par le professeur Gerdes comme un “carré denté”.
Figure 1. Carré denté (Gerdes, 1988, p. 35)
Maintenant, qu’y a-t-il de si mathématiquement significatif dans cette conception ? Dans l’article, le professeur Gerdes détaille en profondeur comment le théorème de Pythagore peut en fait être découvert et prouvé à l’aide d’un carré denté. Choses passionnantes!
Dans ce cas particulier, vous pouvez analyser la conception en noir et blanc comme ci-dessous :
Figure 2. Équivalence des aires (Gerdes, 1988, p. 36)
Figure 3. Mise en équation des aires suite (Gerdes, 1988, p. 36)
Maintenant une question se pose naturellement : le carré denté peut-il être transformé en carré ? Si c’est le cas, comment? Et comment ses dimensions seraient-elles liées au schéma ci-dessus ? Cela fonctionnera-t-il pour n’importe quel triangle rectangle?
Une simple manipulation établit le carré d’aire égale au carré denté et un simple calcul révèle que sa longueur de côté est de 5 carrés. Cela vaut la peine de s’assurer que vous pouvez vous en convaincre avant de continuer…
Figure 4. Recherche d’un carré de même aire (Gerdes, 1988, p. 37)
Maintenant, pour moi, c’est la beauté de cette idée : et si, au lieu de carrés de taille égale dans chaque dissection, vous divisiez différemment les deux carrés initiaux ? Par exemple:
Figure 5. Carrés de tailles différentes (Gerdes, 1988, p. 37)
Surtout, nous ne sommes pas intéressés par les mesures numériques réelles, mais par la relation entre les carrés de chaque côté du triangle rectangle. Au fur et à mesure que vous augmentez le nombre de petits carrés, la “denture” du carré denté devient de moins en moins évidente, et en prenant le nombre d’entre eux pour tendre vers l’infini, nous nous dirigeons vers un énoncé du théorème lui-même.
Figure 6. Augmentation du nombre de cases (Gerdes, 1988, p. 37)
La beauté de cette idée, issue d’un motif artistique que l’on retrouve dans le monde entier, a quelque chose d’assez fédérateur. Une preuve qui peut inclure l’idée de tendre vers l’infini offre également une perspective alternative importante. Reconnaître que les mathématiques se produisent à travers le monde, sous de multiples formes à partir de multiples points de vue, chacun ayant sa propre valeur et sa propre place dans l’expérience de tout apprenant, est un élément clé de la pensée ethnomathématique.